Verschiedene Arten von Zufallsvariablen
Zufallsvariablen können in zwei Hauptkategorien unterteilt werden:
- Diskrete Zufallsvariablen: Nehmen abzählbare Werte an (z.B. Würfeln, Münzwurf).
- Stetige Zufallsvariablen: Nehmen unendlich viele Werte in einem Intervall an (z.B. Zeit, Höhe).
Berechnung der Wahrscheinlichkeit spezifischer Ereignisse
Diskrete Zufallsvariable
Verwenden Sie die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion (PMF), um die Wahrscheinlichkeit eines spezifischen Wertes zu berechnen.
Beispiel: Binomialverteilung
from scipy.stats import binom
# Parameter
n = 10 # Anzahl der Versuche
p = 0.5 # Erfolgswahrscheinlichkeit
k = 5 # Anzahl der Erfolge
# Wahrscheinlichkeit von genau k Erfolgen
probability = binom.pmf(k, n, p)
print(f"Wahrscheinlichkeit von genau {k} Erfolgen: {probability}")
Berechnung der Wahrscheinlichkeit von Bereichen
Diskrete Zufallsvariable
Verwenden Sie die kumulative Verteilungsfunktion (CDF), um die Wahrscheinlichkeit eines Bereichs zu berechnen.
Beispiel: Binomialverteilung
from scipy.stats import binom
# Parameter
n = 10 # Anzahl der Versuche
p = 0.5 # Erfolgswahrscheinlichkeit
k = 5 # Anzahl der Erfolge
# Wahrscheinlichkeit von höchstens k Erfolgen
probability_less_equal = binom.cdf(k, n, p)
print(f"Wahrscheinlichkeit von höchstens {k} Erfolgen: {probability_less_equal}")
# Wahrscheinlichkeit von mehr als k Erfolgen
probability_greater = 1 - binom.cdf(k, n, p)
print(f"Wahrscheinlichkeit von mehr als {k} Erfolgen: {probability_greater}")
Berechnung der Wahrscheinlichkeit von Bereichen
Stetige Zufallsvariable
Verwenden Sie die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF) und die kumulative Verteilungsfunktion (CDF), um die Wahrscheinlichkeit eines Bereichs zu berechnen.
Beispiel: Normalverteilung
from scipy.stats import norm
# Parameter
mean = 0 # Mittelwert
std_dev = 1 # Standardabweichung
x = 1 # Wert von Interesse
# Wahrscheinlichkeitsdichte bei x
pdf_value = norm.pdf(x, mean, std_dev)
print(f"Wahrscheinlichkeitsdichte bei x={x}: {pdf_value}")
# Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable kleiner oder gleich x ist
cdf_value = norm.cdf(x, mean, std_dev)
print(f"Wahrscheinlichkeit, dass X <= {x}: {cdf_value}")
Zusammenfassung
- Diskrete Zufallsvariablen: Verwenden Sie PMF für spezifische Werte und CDF für Bereiche.
- Stetige Zufallsvariablen: Verwenden Sie PDF für Dichten und CDF für Bereiche.
Die Poisson-Verteilung und ihr Parameter Lambda (λ)
Die Poisson-Verteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Anzahl von Ereignissen in einem festen Intervall beschreibt.
- Parameter: Lambda (λ) ist die durchschnittliche Anzahl von Ereignissen im Intervall.
- Anwendung: Häufig verwendet für Ereignisse, die unabhängig voneinander in einem kontinuierlichen Intervall auftreten (z.B. Anrufe in einem Callcenter, Unfälle an einer Kreuzung).
Änderung der Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion
Die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion (PMF) der Poisson-Verteilung ändert sich mit unterschiedlichen Werten von λ.
Beispiel: PMF für verschiedene λ-Werte
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import poisson
# Verschiedene Werte von Lambda
lambdas = [1, 3, 5]
x = range(0, 15)
plt.figure(figsize=(10, 6))
for lambda_ in lambdas:
pmf = poisson.pmf(x, lambda_)
plt.plot(x, pmf, marker='o', label=f'λ = {lambda_}')
plt.xlabel('Anzahl der Ereignisse')
plt.ylabel('Wahrscheinlichkeit')
plt.title('PMF der Poisson-Verteilung für verschiedene λ-Werte')
plt.legend()
plt.show()
Berechnung von Wahrscheinlichkeiten spezifischer Werte
Verwenden Sie die PMF, um die Wahrscheinlichkeit eines spezifischen Wertes zu berechnen.
Beispiel: Wahrscheinlichkeit von k Ereignissen
from scipy.stats import poisson
# Parameter
lambda_ = 2 # Durchschnittliche Anzahl von Ereignissen
k = 3 # Anzahl der Ereignisse
# Wahrscheinlichkeit von genau k Ereignissen
probability = poisson.pmf(k, lambda_)
print(f"Wahrscheinlichkeit von genau {k} Ereignissen: {probability}")
Berechnung von Wahrscheinlichkeiten von Bereichen
Verwenden Sie die kumulative Verteilungsfunktion (CDF), um die Wahrscheinlichkeit eines Bereichs zu berechnen.
Beispiel: Wahrscheinlichkeit von höchstens k Ereignissen
from scipy.stats import poisson
# Parameter
lambda_ = 2 # Durchschnittliche Anzahl von Ereignissen
k = 3 # Anzahl der Ereignisse
# Wahrscheinlichkeit von höchstens k Ereignissen
probability_less_equal = poisson.cdf(k, lambda_)
print(f"Wahrscheinlichkeit von höchstens {k} Ereignissen: {probability_less_equal}")
# Wahrscheinlichkeit von mehr als k Ereignissen
probability_greater = 1 - poisson.cdf(k, lambda_)
print(f"Wahrscheinlichkeit von mehr als {k} Ereignissen: {probability_greater}")
Generierung zufälliger Werte
Generieren Sie zufällige Werte aus einer Poisson-Verteilung.
Beispiel: Zufällige Werte generieren
import numpy as np
from scipy.stats import poisson
# Parameter
lambda_ = 2 # Durchschnittliche Anzahl von Ereignissen
size = 10 # Anzahl der Zufallswerte
# Zufällige Werte generieren
random_values = poisson.rvs(lambda_, size=size)
print(f"Zufällige Werte: {random_values}")
Erwartungswert und Varianz
- Erwartungswert (E[X]): Der Erwartungswert einer Poisson-verteilten Zufallsvariable ist λ.
- Varianz (Var[X]): Die Varianz einer Poisson-verteilten Zufallsvariable ist ebenfalls λ.
Diese Eigenschaften gelten universell für die Poisson-Verteilung.
Zusammenfassung
- Poisson-Verteilung: Beschreibt die Anzahl der Ereignisse in einem festen Intervall.
- PMF und CDF: Verwenden Sie PMF für spezifische Werte und CDF für Bereiche.
- Erwartungswert und Varianz: Beide sind gleich λ.